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uthman
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樓主  發(fā)表于: 2024-01-31 13:26
如需轉(zhuǎn)載,請注明出處。
七次多項式推導
f(x)=A_7 x⁷ + A_6 x⁶ + A_5 x⁵ + A_4 x⁴ + A_3 x³ + A_2 x² + A_1 x + A_0
f'(x)=7A_7 x⁶ + 6A_6 x⁵ + 5A_5 x⁴ + 4A_4 x³ + 3A_3 x² + 2A_2 x + A_1
f''(x)=42A_7 x⁵ + 30A_6 x⁴ + 20A_5 x³ + 12A_4 x² + 6A_3 x + 2A_2
f'''(x)=210A_7 x⁴ + 120A_6 x³ + 60A_5 x² + 24A_4 x + 6A_3
歸一化處理
f(0)=0
f(1)=1

f'(0)=v_0
f'(1)=v_1
f''(0)=a_0
f''(1)=a_1
f'''(0)=j_0
f'''(1)=j_1
可得出系數(shù)如下
A_0 = 0
A_1 = v_0
A_2 = 1 / 2 a_0
A_3 = 1 / 6 j_0
A_4 = -5 a_0 + 5 / 2 a_1 - 2 / 3 j_0 - 1 / 6 j_1 - 20v_0 - 15v_1 + 35
A_5 = 10a_0 - 7a_1 + j_0 + 1 / 2 j_1 + 45v_0 + 39v_1 - 84
A_6 = -15 / 2 a_0 + 13 / 2 a_1 - 2 / 3 j_0 - 1 / 2 j_1 - 36v_0 - 34v_1 + 70
A_7 = 2a_0 - 2a_1 + 1 / 6 j_0 + 1 / 6 j_1 + 10v_0 + 10v_1 - 20

通過以上公式可生成無比絲滑的凸輪曲線
以下曲線是通過七次多項式生成
位置&速度


位置&加速度
  

位置&加加速度
[ 此帖被uthman在2024-02-01 11:16重新編輯 ]
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    flyfeky
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    1樓  發(fā)表于: 2024-06-11 14:50
    看到大神的杰作, 我試著理解一下,  有不對的地方, 請指正。
    =========期間參考了其它資料
    1.  f(x)=A_7 x⁷ + A_6 x⁶ + A_5 x⁵ + A_4 x⁴ + A_3 x³ + A_2 x² + A_1 x + A_0  //   時間-位置曲線
    2.  f'(x)=7A_7 x⁶ + 6A_6 x⁵ + 5A_5 x⁴ + 4A_4 x³ + 3A_3 x² + 2A_2 x + A_1 //   時間-速度曲線
    3.  f''(x)=42A_7 x⁵ + 30A_6 x⁴ + 20A_5 x³ + 12A_4 x² + 6A_3 x + 2A_2    //   時間加速度曲線
    4.  f'''(x)=210A_7 x⁴ + 120A_6 x³ + 60A_5 x² + 24A_4 x + 6A_3   // 時間加加速度曲線

    歸一化處理   ,把一組數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到特定的范圍 通常是[0,1]之間;  t[0,1]   ,位置[s0,s1] 速度[v0,v1] 加速度[a0,a1]  , 加加速度[_a0,_a1]
    分別代入  f(0)=s0 ,f(1)=s1;   f'(0)=v0 ,f'(1)=v1;   f''(0)=a0 ,f''(1)=a1;   f'''(0)=_a0 ,f'''(1)=_a1;

    8 個未知數(shù) ,8個方程  ,解得系數(shù)。

    多項式曲線通常具有兩個極值 ,凸輪的凸凹性在這兩點發(fā)生變化 ,因此叫做凸輪曲線。

    還有個問題, 歸一化數(shù)據(jù)的還原 ,除非模型可以接受歸一化數(shù)據(jù)。  @windstorm
    [ 此帖被flyfeky在2025-05-13 12:13重新編輯 ]
    西門子倍福WPF+C#數(shù)據(jù)庫,槽式設(shè)備專家

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